整数表示

two’s complement

最近得到一本《深入理解计算机》(Computer Systems A Programmers Perspective 3rd)，读到2.2章整数表示，对补码有了新的思考，为此记下一些思考与感悟。

依稀记得在大学讲解整数编码表示时会按照以下顺序介绍

• 原码 (sign magnitude)
• 反码 (ones’ complement)
• 补码 (2’s complement)

这次打算抛开原码与反码，直接从映射的角度去思考整数编码的问题。

计算机能识别的数据是二进制，对于相同的二进制，不同编码可以得到不同的解释。

例如，对于相同的四位二进制，可解释为无符号整数和有符号整数。

咱们逐个分析，先考虑二进制转无符号整数。从一一映射的角度去思考。

• 从 0000 开始对应十进制的 0。
• 二进制加1，十进制也对应加1
• 0000 -> 0
• 0001 -> 1
• 0010 -> 2
• 0011 -> 3
• 0100 -> 4
• 0101 -> 5
• 0110 -> 6
• 0111 -> 7
• 1000 -> 8
• 1001 -> 9
• 1010 -> 10
• 1011 -> 11
• 1100 -> 12
• 1101 -> 13
• 1110 -> 14
• 1111 -> 15

这样看来二进制转无符号整数本质上就是进制转换。

再一起看看二进制转有符号整数。考虑到符号问题，用二进制最左边的数字来判断符号，0表示正数，1表示复数。

• 从 0000 开始对应十进制的 0。
• 二进制加1，十进制也对应加1
• 0000 -> 0
• 0001 -> 1
• 0010 -> 2
• 0011 -> 3
• 0100 -> 4
• 0101 -> 5
• 0110 -> 6
• 0111 -> 7
• 继续 0000 开始对应十进制的 0。
• 二进制减1，十进制也对应减1，对于二进制 0000 - 1 看作是10000 - 1 = 1111。
• 0000 -> 0
• 1111 -> -1
• 1110 -> -2
• 1101 -> -3
• 1100 -> -4
• 1011 -> -5
• 1010 -> -6
• 1001 -> -7
• 1000 -> -8

这样也能做到一一映射的关系。上面的二进制，就是对应有符号整数的补码。

怎么去记忆和对应这个关系呢？

首先，思考四位二进制表示的有符号数的范围大小是[-8,7]。

然后，我们把这个写在一个数轴上，然后再掰弯，让其收尾相连。

• 同样从 0000 开始对应十进制的 0。
• 二进制加1，十进制也对应加1
• 0000 -> 0
• 0001 -> 1
• ….
• 0111 -> 7
• 再往下添加1 就是负数，正好接上最小的数
• 1000 -> -8
• 1001 -> -7
• …
• 1111 -> -1

最后，回到一开始的图，把所有的无符号数和有符号数连在一起看。

思考几秒钟。想想有符号数与无符号数以及二进制的关系。

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